読書記録/線形代数の発想

• 線形代数の勉強のための本

#6

p36問1.4からp41の参考3まで

#N

p130の1.7直前まで。 なんかいまいち理解できてないことも多いけどとりあえずなんとなくまとめよう。

• このwikiページの存在をすっかり忘れていたので慌てて追加(暫定的にNとする)
• やってたことを振り返る
  • まず、数というものから分数、実数とか既存のルールにあわせてルールを拡張するという説明をしてきた。
  • その次に数ベクトルという概念の出現、結局のところこれは同じ種類のものは同じような性質をもって操作するということを、既存のルール上に成立させているだけであるように思う。
  • 数ベクトルをさらに拡張して行列(matrix/マトリックス)という概念を作り出した。
  • マトリックスの乗法は実数のそれと違って左右の配置が大事だけど(AB ≠ BA)、転置すれば大丈夫。同じ性質のものは同じ扱われ方をするように調整するというか。
  • マトリックスは線形写像を表す。入力値に対してfilterする操作というか、プログラミングでいうとmap的な感じ。
  • マトリックス同士を合成して新たなマトリックスを作ることが出来る (合成写像?)
    • これはけっきょくのところ、マトリックスの乗法の交換法則を利用して、事前に計算済みのあらたな関数を作ってるだけだと思う。
      • f(n)とg(n)というマトリックスがあったとして、これを f(g(n)) とできる。
  • Gauss-Jordanの消去法
    • これ使うと複数の方程式の集まりから、それぞれの未確定の値(x1, x2, x3)のうち、知りたい値以外を0にして解を求める手法っていうのかなぁ。x1の値を求めたいときはうまいぐあいにx2とx3が消えるように仕向けて、そういう操作をしていってx1の値を求めるみたいな手法って気がする
  • 階数(rank)
    • 実質的に有効な方程式の数がわかる
  • 線形独立と線形従属
  • スカラー積: ヨコベクトル x タテベクトル
  • 内積: タテベクトル x タテベクトル (あるいはヨコベクトル)
  • 外積: 面積
  • 行列式
    • 普通の計算だと、ax = b みたいな感じで 解b を得るけど、このとき x だけが未知数のときは x = b/a という計算式で求めることが出来る。これをマトリックスの世界、Ax = b にも拡張しようとしたのがCramerの方式。
  • Cramerの方式
    • b = Ax において x を解くための仕組み、公式的なもの。
    • やろうとしてることはGauss-Jordanの方式と同じで未確定の値が3つあったときに、そのうちの2つをうまいこと消去して確定させる、みたいなやり口。
    • そのときそれをわかりやすく視覚的に表現するために作ったのが行列式っぽい。
    • 行列式は det(A) って関数。正方マトリックスAを渡すと一つの値が出てくる
  • ベクトル積
    • 単なる定義、新たな次元を生み出したみたいな感じがする。面積 + 方向

#M

• 結局読み終わった
• このメモ全然更新してねぇ俺
• 線形代数についてひと通り基本的なことは学べたかなという感じはする
• 次は、プログラミングのための線形代数 という本を読んでる